marzo 2023 - Material Docente

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viernes, 24 de marzo de 2023

El misterioso número Pi

marzo 24, 2023 0
El misterioso número Pi



El número irracional más  extraño y misterioso del mundo es sin duda, el número pi.  Es sorprendente cuán enigmático puede ser este número  que es fundamental para conocer el perímetro de la circunferencia y  el área de un círculo.

En este post conoceremos algo de historia del número pi, sus usos y algunas características muy interesantes.



¿Qué es el número pi?



El número pi, más conocido por su símbolo  ‘π’ dentro de las matemáticas es un número que al ser irracional, no es exacto ni periódico, debido a que tiene cantidad infinita de decimales-

El nombre de este número es el de la letra griega ‘π’, inicial de las palabras 'periferia' y 'perímetro', Fue utilizado por los matemáticos  William Oughtred (1574-1660) de Gran Bretaña y Leonhard Euler (1707-1783) de Suiza.

Anteriormente , el número pi había sido determinado como una constante por el matemático alemán Ludolph Van Ceulen (1540-1610) quien calculó el valor de pi aproximándose a las 35 cifras decimales utilizando un polígono regular de 262 lados  

Por supuesto, la determinación y cálculo del número pi se produjo muchos siglos gracias al matemático griego Arquímedes.


Cómo se determinó y cuál fue el origen del número pi

En siglo III AC, fue cuando el matemático, físico e inventor griego Arquímedes (287 a.C. - , 212 a.C) fue el primer matemático en   determinar el valor de pi, utilizando polígonos para afinar el cálculo. 

Su aproximación al final tuvo un error de solo el 0.024% y el 0.040% sobre el valor real.

Aunque  fue Arquímedes el primero en proponer un valor, a través del tiempo diversos matemáticos y físicos buscaron que aproximarse al valor exacto de pi.

En el siglo II AC, Claudio Ptolomeo  mejoró la aproximación de Arquímedes, y estableció el valor de 3,14166 para pi, utilizando un polígono de 120 lados. Posteriormente, casi en el siglo VI AC  el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó un valor de 3,1415927, resultado que fue mejorado en posteriores siglos por diversos científicos.


Aplicación y usos del número pi:


El número pi es utilizado en diversas ramas de las matemáticas , especialmente en geometría y la trigonometría. Este número nos permite saber el valor de cualquier área de un espaio circular así como la longitud de su circunferencia. También se utiliza  como parte de la Integral de Gauss y diversas otras fórmulas en cálculo, análisis matemático, trigonometría, geometría y ecuaciones físicas.


Valor del número pi:


Se sabe que los decimales de pi son infinitos y lo más reciente que e conoce de su cálculo se registra en el 2013 cuando los informáticos Alexander Yee y Shigeru Kondo, lograron  calcular más de 12.1 billones de decimáles:



viernes, 17 de marzo de 2023

Conceptos básicos de álgebra

marzo 17, 2023 0
Conceptos básicos de álgebra

 




CONCEPTOS
BÁSICOS DE ALGEBRA
:



 



1.    Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una
constante literal o numérica. 

Ejemplos: 
3x2y  ;  45 
;  m



En todo término algebraico podemos
distinguir: Signo, coeficiente numérico
y factor literal.




2.   
Grado de un término: Se denomina grado de un término
algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal.                 



     Ejemplos:

Ejercicio

Signo

C. numérico

F. literal

Grado

– 5,9a2b3c

menos

5,9

a2b3c

2+3+1=6



    



3.   
Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado
de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos.



Ejemplo:




 














 


 



 



 






4.   
Cantidad de términos: Según el número de términos  que posea una expresión algebraica se
denomina:                                                              



Monomio : Un
término algebraico           :
a2bc4 ;  –35z



Binomio   : Dos términos algebraicos      : x + y  ;  3 –
5b



Trinomio  : Tres términos algebraicos     :  a + 5b -19



Polinomio:
Más de dos términos algeb.   : 2x – 4y
+ 6z – 8x2



 



5.  Grado
de un polinomio:
El
grado de un polinomio está determinado por el  mayor grado de alguno
de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.

Ejemplo:

Así pues en esta expresión , el grado es 3.





Fuente: Profesor Humberto Pérez Morales

Tome- Chile



miércoles, 15 de marzo de 2023

Ejercicios de sucesión geométrica

marzo 15, 2023 0
Ejercicios de sucesión geométrica

 



Resolvamos


  1.  Formar seis términos de una P.G., dados:



a)      
a1
= 2; r = 5



b)      
a1
= 7; r = 4.



c)      
a1
= 2916; r = 1/3



d)      
a1
= 256; r = ¾


Solución:

Hay que multiplicar la razón r para cada serie desde el primer término y completar los seis términos que se piden:


El resultado sería

a)       2, 10, 50, 250, 1250, 6250

b)       7, 28, 112, 448, 1792, 7168

c)       2916, 972, 324, 108, 36, 12

d)       256, 192, 144, 108, 81, 60.75


Se puede comprobar multiplicando r por cada término.





  1.  El producto del 4º término de una P.G.
    por el 6º término es 5184. Calcular el 5º término.
Solución: 

Para resolver esto se puede usar que la razón de una Progresión Geométrica se 
puede calcular dividiendo un término por el anterior. Por ejemplo: el 5° dividido 
el 4°, el 9° dividido el 8°. Es decir:

r = xn/xn-1

Entonces:

x5/x4 = r

x6/x5 = r

Y como r = r, entonces puede igualar:

x5/x4 = x6/x5

Y aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:

x52 = x4.x6

Pero como x4.x6 = 5184 según el enunciado, entonces:

x52 = 5184

|x5| = V5184

x5 = 72     ó      x5 = -72

En realidad hay dos resultados posibles, y aunque no se puede calcular con 
los datos, se puede deducir (a partir de descomponer al número 5184) cómo serían 
las Progresiones que cumplen con eso:

Primera progresión que cumple con el enunciado:

9/2 ; 9 ; 18 ; 36 ; 72 ; 144 ; etc.

r = 2

x4 = 36

x5 = 72

x6 = 144

x1 = 9/2

x4.x6 = 36.144 = 5184

Segunda progresión:

-9/2 ; 9 ; -18 ; 36 ; -72 ; 144 ; etc.

r = -2

x4 = 36

x5 = -72

x6 = 144

x1 = -9/2

x4.x6 = 36.144 = 5184




¿Qué es una sucesión aritmética?

marzo 15, 2023 0
¿Qué es una sucesión aritmética?


Definición


La sucesión o progresión aritmética es una secuencia de números, en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante que podemos denominar con una letra tal como d, excepto el primer término que es dado. El valor de dicha constante d puede ser un número positivo o negativo.


Ejemplos:

1.- La sucesión: s= 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20

Es un ejemplo de una sucesión aritmética, muy clara donde la diferencia entre dos términos consecutivos nos da una constante d de valor 3.

2.- La sucesión: s = -10, -6, -2, 2, 6, 10, 14

Es un otro ejemplo claro de una sucesión aritmética, dado que la diferencia entre dos términos consecutivos nos da una constante d de valor 4.

3.- La sucesión: s = -7, -1, 5, 11, 16, 22, 28, 

En cambio, no es un ejemplo de una sucesión aritmética, ya que la diferencia entre el cuarto y quinto término nos da una constante d = 5 diferente al valor de la otra constante con los otros términos que es d = 6.

Cuando hablamos de sucesiones aritméticas es importante definir la notación utilizada.

Notación: (Sucesión Aritmética)
Por lo general,  se denominan los términos de una sucesión de la siguiente manera:
a(1) = primer término de la sucesión
a(2) = segundo término de la sucesión

a(n) = n-ésimo término de la sucesión
d = Constante o diferencia común

El n-ésimo término de una sucesión aritmética es la regla que determina como se calculan los términos de dicha sucesión.


Tipos de progresión

  • La progresión aritmética es aquella en que la diferencia entre cualquier par de sus términos sucesivos es constante. Dentro de estas progresiones numéricas también podemos encontrar ejercicios con series que combinan sumas y restas alternadas entre sus términos.

  • La progresión geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante denominada razón o factor.


martes, 14 de marzo de 2023

CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN PRISMA

marzo 14, 2023 0
CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN PRISMA

 CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN PRISMA TRIANGULAR


Sabemos que el volumen de cualquier prisma se puede calcular simplemente al multiplicar el área de su base por la altura de dicho prisma. 

La fórmula general es:

V=A_{ base}\times h
Por supuesto,. se tendrá en cuenta que el área de la base del prisma dependerá del tipo de prisma que tengamos. 

Por ejemplo, si se trata de un prisma triangular, se puede calcular el área de su base al multiplicar un medio de la longitud de la base del triángulo por la longitud de la altura de dicho triángulo. Entonces, tendremos la siguiente fórmula:
V=\frac{1}{2}b\times a\times h


en donde,

b es la base del triángulo
a es la altura del triángulo
h es la altura del prisma
dimensiones de un prisma triangular

 CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN PRISMA RECTANGULAR


En el caso de un prisma rectangular, podemos calcular el área de su base al multiplicar la longitud del ancho y la longitud de la base. Luego se multiplica por la altura.  Entonces, tenemos lo siguiente:
V=l\times b \times h

en donde,

l es la longitud del ancho del prisma
b es la longitud de la base del prisma
h es la longitud de la altura del prisma

prisma rectangular con sus dimensiones

martes, 7 de marzo de 2023

Ejercicios de álgebra básica

marzo 07, 2023 0
Ejercicios de álgebra básica

 



Ejercicios de álgebra básica


EJERCICIO 1 :
Reducir: 
3a + 7a + 2a 

Eso significa simplemente sumar los términos semejantes

3a + 7a + 2a  = 12a
A) 9a 
B) 12a 
C) 13a
D) 7a 
E) 14a 
Rpta. : "B"


EJERCICIO 2 :
Evaluar : 
– 9x + 2x – 4x 

Se suman y restan según el signo los términos semejantes y tenemos :
– 9x + 2x – 4x  = -11x

A) – 7x 
B) 8x 
C) 7x 
D) 11x 
E) – 11x 
Rpta. : "E"


EJERCICIO 3 :
Reducir: 
x.x + 3x² 

X.x es x² por tanto estamos sumando x²  + 3 x² = 4 

A) 5x² 
B) 4x² 
C) 2x 
D) 4x 
E) 2x + 3x² 
Rpta. : "B"


EJERCICIO 4 :
Calcular : 
( – 10)( – 2)( – 3) + ( – 4)(5)( – 4) 

Aplicamos la regla para operaciones combinadas, se resuelve primero el producto de los paréntesis antes de sumar y por supuesto se aplica también la regla de signos .




( – 10)( – 2)( – 3) + ( – 4)(5)( – 4) =
                    -60          +             80      =20   

A) 30 
B) 20 
C) 15 
D) 60 
E) – 90 
Rpta. : "B"


EJERCICIO 5 :
Indicar lo equivalente a la siguiente expresión: 
x.x.x+x²x+7x³

Multiplicando nos daremos cuenta que los tres son términos semejantes de grado 3
x.x.x+x²x+ 9x³
x³  +  x³  + 9 x³  =  11

A) 3x + 8x² 
B) 3x + 2x²+ 7x³ 
C) 9x 
D) 11x³
E) 9x²
Rpta. : "D"

lunes, 6 de marzo de 2023

10 CARACTERÍSTICAS DEL MAPA CONCEPTUAL

marzo 06, 2023 0
10 CARACTERÍSTICAS DEL MAPA CONCEPTUAL


10 características del mapa conceptual



Crear mapas conceptuales puede ser una forma estupenda de desglosar ideas complejas y comprender mejor temas difíciles. 

Estos diagramas visuales pueden ayudar a explicar conceptos difíciles de una forma más organizada y simplista. 

Para ayudarte a comprender mejor el proceso de elaboración de mapas conceptuales, hemos recopilado 10 de las características más importantes de un mapa conceptual. 

Los buenos mapas conceptuales deben contener una idea o concepto central, así como detalles clave o ideas relacionadas. 

Además, las conexiones entre conceptos deben ser fácilmente visibles, y debe haber relaciones lógicas entre los conceptos. Además, el diseño de un mapa conceptual debe ser organizado y fácil de leer. 

Cada una de estas características puede ayudar a crear un mapa conceptual informativo y eficaz. 

Así que si quieres aprender lo esencial de los mapas conceptuales, esta entrada del blog es perfecta para ti. 

Sigue leyendo para descubrir las 10 características de un mapa conceptual y aprender cómo cada una de ellas puede ayudarte a crear un diagrama visual eficaz.


¿Qué es un mapa conceptual?


Un mapa conceptual es una representación gráfica de conceptos relacionados. Aumenta la comprensión al proporcionar una representación visual de las conexiones entre conceptos, lo que facilita la navegación y el aprendizaje. 

Permite organizar el conocimiento de forma estructurada, facilitando la evaluación, el análisis, la conexión y la comunicación de ideas. 

Los mapas conceptuales se utilizan en muchos campos, como la educación, la psicología, la investigación científica y las soluciones comerciales.

Es una herramienta visual que se utiliza para organizar y representar información, ideas y relaciones entre ellas. Así mismo, ayuda a comprender mejor un tema dado, ya que trata todos los conceptos importantes relacionados con ese tema, incluidas las relaciones jerárquicas entre diferentes conceptos y también los enlaces relevantes dentro de ellos. 

Se usa comúnmente en entornos educativos para ayudar a los estudiantes a visualizar las relaciones entre las ideas o los temas que están estudiando.

Los mapas conceptuales son representaciones visuales de las conexiones entre conceptos

Los mapas conceptuales son una herramienta muy utilizada para representar las conexiones entre conceptos dentro de una materia determinada. 

Visualiza ideas, conceptos y relaciones entre ellos. Los nodos del mapa conceptual representan los conceptos centrales, mientras que las líneas de conexión entre ellos representan las relaciones entre los conceptos. 

Los mapas conceptuales pueden utilizarse para explorar ideas, ilustrar relaciones entre conceptos y ayudar a organizar y estructurar la información.

Como tales, son una poderosa herramienta para el aprendizaje, la enseñanza y la resolución de problemas.


Pueden utilizarse para mostrar relaciones entre ideas, hechos y acontecimientos

Los mapas conceptuales son potentes herramientas para representar visualmente información e ideas. Pueden utilizarse para mostrar relaciones entre ideas, hechos y acontecimientos. 

Fomenta el desarrollo de nuevas ideas y ayuda a organizar el conocimiento de forma significativa. También puede utilizarse como herramienta para resolver problemas y tomar decisiones.

Los mapas conceptuales son especialmente útiles para comprender cómo se relacionan varios conceptos, lo que los convierte en una gran herramienta para el aprendizaje y la enseñanza.


Pueden utilizarse para explicar temas complejos

La capacidad de explicar temas complejos es una de las características clave de un mapa conceptual. 

Los mapas conceptuales son representaciones gráficas de un concepto o idea, con nodos y flechas que los conectan para indicar relaciones y jerarquías.

Pueden utilizarse para explicar temas complejos de forma fácil de entender, proporcionando una representación visual de las ideas y conceptos que se discuten. 

Esto hace que los mapas conceptuales sean una herramienta excelente para comunicar y enseñar temas complejos, ya que pueden comprenderse fácilmente de un vistazo.


Los mapas conceptuales son útiles tanto para aprender como para resolver problemas


Los mapas conceptuales son una poderosa herramienta que puede utilizarse tanto para aprender como para resolver problemas. 

Los mapas conceptuales permiten al alumno visualizar las relaciones entre conceptos e ideas, identificar fácilmente patrones y establecer conexiones entre la información.

Además, los mapas conceptuales pueden utilizarse para realizar una lluvia de ideas sobre soluciones a un problema y para ayudar a organizar los pensamientos de forma lógica. 

Por estas razones, los mapas conceptuales son un recurso muy valioso tanto para quienes pretenden adquirir conocimientos como para quienes buscan resolver un problema.


Pueden utilizarse para representar múltiples niveles de detalle

Una de las características fundamentales de un mapa conceptual es su capacidad para representar múltiples niveles de detalle. 

Los mapas conceptuales se componen de nodos y aristas, y estos nodos pueden utilizarse para representar varios niveles de detalle. 

Por ejemplo, un mapa conceptual puede tener un único nodo para representar una idea amplia, con nodos adicionales conectados a este nodo para representar elementos más específicos de esa idea. 

Esto permite utilizar los mapas conceptuales para transmitir eficazmente ideas y relaciones complejas de forma visual.


Los mapas conceptuales son adaptables para dar cabida a nuevos conocimientos

Una de las características más valiosas de un mapa conceptual es su capacidad de adaptación para dar cabida a nuevos conocimientos. 

Esto es especialmente beneficioso cuando un tema determinado evoluciona constantemente y continuamente entra nueva información en escena. 

Los mapas conceptuales pueden modificarse fácilmente para incluir conceptos y relaciones adicionales, o actualizarse para reflejar cambios en la comprensión de un concepto. 

Esto los convierte en una herramienta valiosa para quienes necesitan estar al día de los últimos avances en un campo concreto. 

La adaptabilidad de los mapas conceptuales también los convierte en una gran herramienta para la enseñanza, ya que pueden adaptarse a las necesidades de aprendizaje del individuo.


Pueden ayudar a identificar lagunas de comprensión

Una de las características clave de un mapa conceptual es su capacidad para identificar lagunas de comprensión. 

Al organizar conceptos e ideas relacionados en un formato visual, es más fácil reconocer las piezas que puedan faltar.

Además, los mapas conceptuales pueden utilizarse para comparar y contrastar ideas diferentes, lo que puede ayudar a identificar cualquier incoherencia o contradicción. 

Por tanto, los mapas conceptuales pueden servir para comprender mejor un tema concreto y pueden utilizarse como herramienta para evaluar y mejorar la comprensión.


Los mapas conceptuales pueden utilizarse para fomentar el pensamiento creativo

Los mapas conceptuales son una poderosa herramienta que puede utilizarse para fomentar el pensamiento creativo y la resolución de problemas.

Al representar visualmente las relaciones entre conceptos, se pueden obtener nuevas perspectivas sobre el tema en cuestión y generar ideas que antes no se habrían considerado. 

Además, los mapas conceptuales pueden utilizarse para identificar áreas de desacuerdo o confusión, permitiendo a las personas ver el panorama general y encontrar formas de salvar las distancias. 

Como tales, los mapas conceptuales son una herramienta inestimable para cualquier equipo que pretenda lograr soluciones creativas.


Pueden proporcionar una perspectiva holística y desarrollar la comprensión de la visión de conjunto

Los mapas conceptuales proporcionan una perspectiva holística y desarrollan la comprensión del panorama general. 

Al conectar distintos conceptos, ayudan a evaluar las interconexiones entre ideas, proporcionando una forma de ver cómo se relacionan entre sí los distintos conceptos. 

Como resultado, los mapas conceptuales pueden proporcionar una visión de la estructura general de una materia o tema, permitiendo una comprensión más completa del tema en cuestión. 

Además, los mapas conceptuales pueden utilizarse para determinar la relevancia de determinados conceptos para el tema general.


Los mapas conceptuales pueden utilizarse para aclarar y organizar pensamientos e ideas.

Los mapas conceptuales son una herramienta eficaz para aclarar y organizar pensamientos e ideas. Proporcionan una forma eficaz de visualizar y estructurar la información, facilitando la comprensión de conceptos y relaciones complejas. 

Con los mapas conceptuales, puedes comprender mejor los componentes de un tema, así como las relaciones entre ellos. 

También ayudan a dividir grandes bloques de información en secciones más pequeñas, lo que facilita su revisión y recuerdo.

Proporcionan una estructura visual para organizar la información y conectar ideas relacionadas. Esto puede ayudar a estudiantes y profesionales a comprender mejor temas complejos y a establecer conexiones entre ideas hasta entonces dispares.

Al comprender las 10 características de un mapa conceptual, los usuarios pueden utilizar esta herramienta de forma más eficaz para alcanzar sus objetivos de aprendizaje y profesionales.

A continuación compartimos dos vídeos interesantes: